المتتاليات و المتسلسلات الحسابية .
.
و هي المتتالية أو المتسلسلة التي يكون الفرق بين كل حدين متتاليين من حدود المتتالية أو المتسلسلة عدد ثابت لا يتغير
ويسمى الفرق بين كل حدين متتاليين أساس المتتالية أو أساس المتسلسلة ويرمز للأساس بلرمز
د و الحد العام للمتتالية الحسابية هو
ح ن = أ + (ن-١)*د ح ن هو الحد العام أو القانون العام
أ هو أول حد يعني أول رقم في المتتالية
ن هو رقم الحد
د هو أساس المتتالية اي الفرق بين كل حدين متتاليين ح١ تعني الحد الاول و ح٢ تعني الحد الثاني و ح٣ تعني الحد الثالث وهكذا
لمعرفت أساس المتتالية نطرح الحد الثاني من
الحد الأول
ح٢-ح١ = د مثال أكتب الحد العام للمتتالية الآتية
9 , 7 , 5 , 3 الحل
يجب أن نجد أساس المتتالية لنطبق على قانون الحد العام
لإيجاد أساس المتتالية نطرح الحد الاول من الحد الثاني
ح٢-ح١ = د
٥ - ٣ = ٢
وللتأكد من أنه صحيح نطرح الحد الثاني من الحد الثالث
ح٣ - ح٢ = د
٧ - ٥ = ٢
اذا فأساس المتتالية ٢ لكن اذا اختلف الاساس عند التحقق منه وكان عند طرح الحد الاول من الثاني الجواب ٢ وعند طرح الحد الثاني من الحد الثالث يكون الجواب ليس ٢ فتكون المتتالية غير حسابية
والان بعد معرفة أساس المتتالية وهو ٢ نطبق على القانون للمتتالية الحسابية وهو قانون الحد العام لايجاد الحد العام
ح ن = أ + ( ن - ١ ) * د والآن نعوض بلقانون الحد العام فيكون بهذا الشكل
ح ن = ٣ + ( ن - ١ ) * ٢
والان نضرب اساس المتتالية والذي هو ٢ نضربه في -١ و ن فيكون الناتج
ح ن = ٣ + ٢ن - ٢
موجب ٣ و ٢ سالب يكون الناتج موجب ١
ح ن = ٢ن + ١
وهو الحد العام
لإيجاد أي حد في المتتالية نعوض رقم الحد بدل ن في الحد العام ويكون الناتج الحد الذي وضعنا رقمه بدل ن
فمثلآ لو اردنا ان نعرف الحد الثالث نعوض ٣ بدل ن في الحد العام
ح ن = ٢ * ن + ١
ح ٣ = ٢ * ٣ + ١
ح ٣ = ٧
اذا فلحد الثالث هو ٧ وكما نرى في المتتالية التي في السؤال فحدها الثالث هو ٧ اذا حلنا صحيح .
.
.
مثال آخر متتالية حسابية هي
8 , 6 , 4 , 2
جد الحد العام للمتتالية و جد الحد الخامس .
.
الحل
.
لايجاد الحد العام نطبق على قانون الحد العام للمتتالية الحسابية وهو
ح ن = أ + ( ن - ١ ) * د
ينقص اساس المتتالية لتطبيق القانون لايجاد الاساس
ح٢-ح١=د
٤ - ٢ = ٢
اذا فلاساس هو ٢ وما دام ان السؤال ذكر ان المتتالية حسابية يعني انه لا حاجة للتأكد من انها حسابيه
اذا نطبق على القانون االحد العام
ح ن = أ + ( ن - ١ ) * د
نطبق
ح ن = ٢ + ( ن - ١ ) * ٢
نضرب الاساس وهو ٢ في -١ و ن
ح ن = ٢ + ٢ن-٢
لتبسيط الحد العام نحذف ال٢ مع ال -٢ ويصبح الحد العام
ح ن = ٢ن
اذا الحد العام هو ٢ن ولايجاد الحد الخامس نعوض ٥ بدل ن في الحد العام فيكون
٢*٥=١٠
اذا فلحد الخامس هو ١٠ .
.
.
. سؤال :
ميز المتتالية الحسابية عن غيرها في المتتاليات الآتية
المتتالية الاولى
٥ ، ٥ ، ٥ ، ٥
المتتالية الثانية
٢ ، ٣ ، ٥ ، ٧ ، ٩
المتتالية الثالثة
٢ ، ٤ ، ٨
الحل : المتتالية الاولى
صفات المتتاليمة الحسابية أن الفرق بين حدين متتاليين هو فرق ثابت لا يتغير ولمعرفة الفرق نطرح الحد الاول من الحد الثاني
ح٢ - ح١ = د
يعني عند التعويض
٥ - ٥ = ٠
وللتأكد من انه ثابت نتأكد من خلال طرح الحد الثاني من الحد الثالث
٥ - ٥ = ٠
اذا فلفرق بين كل حدين متتاليين وبما يعرف بلأساس فهو صفر اذا المتتالية حسابية المتتالية الثانية
نطرح الحد الاول من الثاني لنعرف الاساس
ح٢ -ح١ = د
٣ - ٢ = ١
نتأكد من أنه الاساس للمتتالية
ح٣ - ح٢ = د
٥ - ٣ = ٢
الاساس مختلف اذا الفرق بين كل حدين متتاليين ليس ثابت
اذا فلمتتالية ليست حسابية المتتالية الثالثة
نجد الاساس
ح٢ - ح١ = د
٤-٢ = ٢
نتأكد من ان الفرق بين كل حدين متتاليين ثابت
ح٣ - ح٢ = د
٨ - ٤ = ٤
الاساس مختلف اذا الفرق بين كل حدين متتاليين مختلف اذا المنتتالية ليست حسابية .
.
. سؤال
جد عدد الحدود للمتتالية الحسابية التالية
337, ... , 16 , 13 , 10 , 7 : الحل
أولا نجد اساس المتتالية
ح٢ - ح١ = د
١٠ - ٧ = ٣
اذا الاساس هو ٣
و أ = ٧
والان نطبق على قانون الحد العام للمتتالية الحسابية
لكن لاننا نريد عدد الحدود نضع آخر حد بدل ح ن كما يلي
ح ن = أ + ( ن - ١ ) * د
٣٣٧ = ٧ + ( ن - ١ ) * ٣
والان نضرب ال٣ في -١ و ن
٣٣٧ = ٧ + ٣ن-٣
وتصبح عند طرح ال -٣ من ٧
٣٣٧ = ٣ن + ٤
ثم ننقل ال٤ الى الطرف الثاني وعند نقله تنقلب اشرارتة وتصبح سالبة
٣٣٧ - ٤ = ٣ن
نطرح ال٤ من ٣٣٧
٣٣٣ = ٣ن
والان لنجد ن نتخلص من ٣ عن طريق قسمتها على ٣ ويجب قسمة الطرف الثاني دام أننا قسمنا الطرف الاول على ٣ نقسم الطرف الثاني على ٣
٣٣٣/٣ = ٣/٣ ن
وينتج
١١١ = ن
اذا عدد الحدود هو ١١١ حد .
.
.
. : سؤال
كم عدد الأعداد الزوجية التي اصغر من ١٠١ ؟ الحل
الاعداد الزوجية التي اقل من ١٠١ يعني نبدأ من ١ الى ١٠٠ لكن الشرط الثاني انه يريدها اعداد زوجية لذالك نترك الاعداد الفرديه ونضع الزوجية فقط
يعني تكون المتتالية بهذا الشكل
100 , ... , 6 , 4 , 2
الفرق بين كل حدين متتاليين ثابت وهو ٢ لنتأكد من انه ٢
ح٢ - ح١ = د
٤ - ٢ = ٢
اذا اساس المتتالية هو ٢
والان كما في السؤال السابق نطبق على القانون الحد العام للمتتالية الحسابية ونعوض آخر حد الذي هو ١٠٠ بدل ح ن ليكون المتغير ن هو عدد الحدود
نطبق
أ = ٢ د = ٢
ح ن = أ + ( ن - ١ ) * د
نعوض ١٠٠ وهو آخر حد بدل ح ن
١٠٠ = ٢ + ( ن - ١ ) * ٢
نضرب ٢ وهو الاساس في -١ و ن
١٠٠ = ٢ + ٢ن - ٢
والان ٢ مع -٢ يساوي صفر اي تبقا ٢ن فقط
١٠٠ = ٢ن
والان للتخلص من ٢ نقسمها على ٢ لكن لا يجوز قسمة طرف على رقم دون قسمة الطرف الثاني لذالك نقسم الطرفين على ٢
١٠٠/٢ = ٢/٢ن
وبعد القسمه على ٢ يكون
٥٠ = ن
اذا عدد الحدود الموجبه الزوجية التي اقل من ١٠١ هي ٥٠ حد
اذا عدد الحدود ٥٠ حد
